Si les boules de Noël doivent bientôt être rangées, comment procéderez-vous ? L’espace dans la boîte est utilisé plus efficacement en plaçant d’abord une couche de boules de Noël dans une grille en forme de nid d’abeille. Placez ensuite la deuxième couche de balles de manière à ce que chaque balle tombe dans un trou de la première couche, et continuez à répéter cette couche après couche.
Les mathématiciens appellent l’espace utilisé la « densité » du paquet. Si tout l’espace tridimensionnel est rempli de sphères de taille égale réparties en une infinité de couches – chaque couche selon le motif en nid d’abeilles – alors la densité est d’environ 74 pour cent (la valeur exacte est (pi) divisé par la racine carrée de 18). Johannes Kepler soupçonnait dès 1611 que cette densité était optimale. Malgré la simplicité du problème, la preuve n’a été trouvée qu’en 1998. Il a fallu à l’Américain Thomas Hales 250 pages pleines de raisonnements et de calculs – s’appuyant sur un gros travail informatique.
théorème de Pythagore
Plus tôt ce mois-ci, les mathématiciens Marcelo Campos, Matthew Jenssen, Marcus Michelen et Julian Sahasrabudhe ont mis un article en ligne avec un nouveau résultat sur la densité des empilements de sphères dans des espaces de plus grande dimension. Les sphères de dimensions supérieures à trois ne peuvent plus être visualisées, mais elles peuvent être décrites mathématiquement. Pour la distance entre deux points dans un plan plat, il existe le théorème de Pythagore bien connu. Par exemple, la distance entre le point de coordonnées (1, 2) et le point de coordonnées (4, 6) est égale à ((4 – 1)2 + (6 – 2)2) = (32 +42) = 25 = 5. Dans un espace de dimension trois ou plus, cela fonctionne de la même manière : la distance entre (1, 2, 3, 4) et (4, 6, 15, 88) – deux points dans un espace à quatre dimensions – est ((4 – 1)2 + (6 – 2)2 + (15 – 3)2 + (88 – 4)2) = (32 +42 +122 +842) = 7 225 = 85.
Avec cette version de Pythagore en dimension supérieure, il est possible de décrire une sphère avec un centre et un rayon donnés, dans n’importe quelle dimension : l’ensemble de tous les points qui ont la même distance (le rayon) du centre. Les mathématiciens se demandent alors combien d’espace occupent ces sphères de dimension supérieure.
Trouver le meilleur emballage de balles de même taille et de grandes dimensions est un problème notoirement difficile. Les sphères peuvent être empilées dans quatre dimensions avec une densité de près de 62 % (exactement : 2 divisé par 16). Les sphères sont situées dans une grille à quatre dimensions. Il a été prouvé qu’il n’y a pas de meilleur empilement régulier, mais il n’a pas été prouvé qu’il existe une disposition irrégulière conduisant à un emballage plus dense.
La même chose s’applique aux dimensions cinq, six et sept : les emballages sphériques les plus connus ont respectivement une densité d’environ 47, 37 et 30 pour cent. Personne ne s’attend à ce que cela puisse être fait de manière plus efficace, mais cela n’a pas été prouvé.
Une exception est la huitième dimension. En 2016, la mathématicienne ukrainienne Maryna Viazovska a prouvé que l’empilement soupçonné depuis longtemps était optimal – avec une densité de 25 pour cent (exactement : 4 divisé par 384) – est en fait le meilleur. Cela lui a valu une médaille Fields en 2022, le prix le plus important décerné aux jeunes mathématiciens.
À mesure que la dimension augmente, la proportion d’espace vide entre les sphères augmente également. On ne sait presque rien des bons empilements de sphères, où l’espace vide est aussi limité que possible, dans des dimensions très élevées. La densité optimale est-elle obtenue par un empilement ordonné ? Ou précisément à cause d’une pile qui ne présente aucun motif régulier ?
Parce que chaque dimension comporte des obstacles différents, il est difficile d’en dire quoi que ce soit de général. Ce serait bien : une formule toute faite qui vous indique pour chaque dimension quelle est la densité la plus élevée possible. Cependant, une telle formule n’existe pas, c’est pourquoi les mathématiciens recherchent des limites inférieures et supérieures. Une limite inférieure indique quelle densité peut certainement être atteinte – l’exigence qu’elle soit optimale n’est plus requise. Une limite inférieure facile à prouver qui s’applique à n’importe quelle dimension n est 1/2n (voir encadré ci-dessous).
Meilleure limite inférieure
En 1947, le Britannique Claude Rogers trouva une limite inférieure nettement meilleure. Les autres améliorations ne sont guère significatives. Campos, Jenssen, Michelen et Sahasrabudhe ont enfin fait un grand pas. Ils ont prouvé que pour chaque dimension n « suffisamment élevée » il existe un empilement de sphères de taille égale avec une densité qui est « un facteur de l’ordre de grandeur du logarithme de n » meilleure que la densité qui a été jusqu’à présent la meilleure. la limite inférieure l’était.
Leur prépublication n’a pas encore été officiellement examinée par leurs pairs, mais les experts sont enthousiastes. Timothy Gowers, médaillé Fields, sur
Les quatre mathématiciens qualifient de « complètement mystérieuse » la théorie des empilements de sphères en grandes dimensions. Leurs empilements de sphères sont très désordonnés : aucun réseau symétrique ne les sous-tend. Ils ajoutent toujours une nouvelle sphère au moyen d’un soi-disant « processus de Poisson », un modèle mathématique qui sert à décrire les moments où se produisent des incidents fortuits. Le mathématicien Terence Tao écrit sur Mastodon que cela « semble être la première fois que cette méthode est appliquée avec succès au problème classique de l’empilement de sphères ».