En 1946, le mathématicien hongrois Paul Erdős a posé une question apparemment simple : si l’on place n points sur un plan, combien de paires de points peuvent être exactement à une distance de 1 l’un de l’autre ? Ce dilemme, connu sous le nom de problème de la distance unitaire dans le plan, a défié de nombreux mathématiciens dans le domaine de la géométrie pendant près de quatre-vingts ans.
Traditionnellement, plusieurs chercheurs ont cherché à résoudre ce problème en utilisant une grille carrée. Ils ont vite réalisé que le nombre de paires à distance unitaire augmente d’au moins n élevé à (1 + C/loglog(n)), où C est une constante positive mesurant l’efficacité d’une construction spécifique par rapport à une grille basique. Bien que ce soit une idée complexe, il est possible de s’en approcher de façon plus intuitive.
Une grille carrée standard génère environ 2n paires de points à distance unitaire. En la redimensionnant de manière astucieuse en choisissant un facteur d’échelle qui possède de nombreux diviseurs (une propriété connue en théorie des nombres sous le nom de nombre riche en facteurs premiers), on parvient à créer davantage de paires de points situées exactement à distance 1. La valeur de C mesure concrètement cette efficacité, et c’est là que réside la clé de cette question.
Une IA d’OpenAI réalise un progrès majeur en 80 ans
Il devient clair que la question posée par Erdős, bien qu’elle soit facile à énoncer, est extrêmement difficile à résoudre. En développant davantage le cadre classique, on constate que, comme loglog(n) augmente très lentement, l’exposant converge vers 0. Cela signifie que la grille carrée croît légèrement plus rapidement que n, mais pas suffisamment pour dépasser n à un rythme constant.
Cette avancée est attribuée à un modèle d’inférence générale qu’OpenAI testait en interne.
Ce phénomène explique pourquoi, pendant des décennies, les mathématiciens ont estimé que la limite supérieure serait d’environ n^(1+o(1)), ce qui est à peine supérieur à n. Cependant, nous avons maintenant su que cette hypothèse était erronée, et ce n’est pas un mathématicien hors pair qui a réfuté cette conjecture, mais un modèle d’inférence générale d’OpenAI.
Ce modèle a fourni une infinité d’exemples permettant d’obtenir une amélioration polynomiale. En effet, il a prouvé qu’il est possible de construire des configurations de points avec au moins n^(1+δ) paires à distance unitaire, où δ est un nombre fixe supérieur à 0 qui ne disparaît pas à mesure que n augmente. Lors de la présentation de ce résultat, les chercheurs d’OpenAI ont demandé à un groupe de mathématiciens de Princeton de l’examiner, et leur conclusion était sans appel.
L’IA avait raison. C’est la première avancée significative dans la limite inférieure du problème d’Erdős depuis 80 ans. Fait notable, le modèle d’OpenAI a employé des outils avancés en théorie algébrique des nombres pour un problème géométrique apparemment élémentaire. Plusieurs mathématiciens de renom, tels que le lauréat de la Médaille Fields Tim Gowers ou l’expert en théorie des nombres Arul Shankar, ont déclaré que ce résultat constitue une réalisation exceptionnelle qui pourrait ouvrir de nouvelles perspectives pour les mathématiciens dans l’avenir.
Image | Jeswin Thomas
Pour plus d’informations | OpenAI
En Xataka | Ces deux problèmes ont troublé les mathématiciens pendant des décennies. Un génie les a résolus d’un coup.