{"id":1767638,"date":"2026-05-22T21:06:33","date_gmt":"2026-05-22T18:06:33","guid":{"rendered":"https:\/\/teknomers.com\/fr\/un-probleme-mathematique-resistait-aux-experts-depuis-plus-de-80-ans-une-ia-les-a-tous-surpasses\/"},"modified":"2026-05-22T21:06:37","modified_gmt":"2026-05-22T18:06:37","slug":"un-probleme-mathematique-resistait-aux-experts-depuis-plus-de-80-ans-une-ia-les-a-tous-surpasses","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/teknomers.com\/fr\/un-probleme-mathematique-resistait-aux-experts-depuis-plus-de-80-ans-une-ia-les-a-tous-surpasses\/","title":{"rendered":"Un probl\u00e8me math\u00e9matique r\u00e9sistait aux experts depuis plus de 80 ans. Une IA les a tous surpass\u00e9s."},"content":{"rendered":"\n
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En 1946, le math\u00e9maticien hongrois Paul Erd\u0151s a pos\u00e9 une question apparemment simple : si l’on place n points sur un plan, combien de paires de points peuvent \u00eatre exactement \u00e0 une distance de 1 l’un de l’autre ? Ce dilemme, connu sous le nom de probl\u00e8me de la distance unitaire dans le plan<\/strong>, a d\u00e9fi\u00e9 de nombreux math\u00e9maticiens dans le domaine de la g\u00e9om\u00e9trie pendant pr\u00e8s de quatre-vingts ans.<\/p>\n

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Traditionnellement, plusieurs chercheurs ont cherch\u00e9 \u00e0 r\u00e9soudre ce probl\u00e8me en utilisant une grille carr\u00e9e. Ils ont vite r\u00e9alis\u00e9 que le nombre de paires \u00e0 distance unitaire augmente d\u2019au moins n \u00e9lev\u00e9 \u00e0 (1 + C\/loglog(n)), o\u00f9 C est une constante positive mesurant l’efficacit\u00e9 d’une construction sp\u00e9cifique par rapport \u00e0 une grille basique. Bien que ce soit une id\u00e9e complexe, il est possible de s’en approcher de fa\u00e7on plus intuitive.<\/p>\n

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Une grille carr\u00e9e standard g\u00e9n\u00e8re environ 2n paires de points \u00e0 distance unitaire. En la redimensionnant de mani\u00e8re astucieuse en choisissant un facteur d’\u00e9chelle qui poss\u00e8de de nombreux diviseurs (une propri\u00e9t\u00e9 connue en th\u00e9orie des nombres sous le nom de nombre riche en facteurs premiers), on parvient \u00e0 cr\u00e9er davantage de paires de points situ\u00e9es exactement \u00e0 distance 1. La valeur de C mesure concr\u00e8tement cette efficacit\u00e9, et c\u2019est l\u00e0 que r\u00e9side la cl\u00e9 de cette question.<\/p>\n

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Une IA d’OpenAI r\u00e9alise un progr\u00e8s majeur en 80 ans<\/h2>\n

Il devient clair que la question pos\u00e9e par Erd\u0151s, bien qu’elle soit facile \u00e0 \u00e9noncer, est extr\u00eamement difficile \u00e0 r\u00e9soudre. En d\u00e9veloppant davantage le cadre classique, on constate que, comme loglog(n) augmente tr\u00e8s lentement, l’exposant converge vers 0. Cela signifie que la grille carr\u00e9e cro\u00eet l\u00e9g\u00e8rement plus rapidement que n, mais pas suffisamment pour d\u00e9passer n \u00e0 un rythme constant.<\/p>\n

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Cette avanc\u00e9e est attribu\u00e9e \u00e0 un mod\u00e8le d’inf\u00e9rence g\u00e9n\u00e9rale qu’OpenAI testait en interne.<\/p>\n<\/p><\/div>\n<\/div>\n

Ce ph\u00e9nom\u00e8ne explique pourquoi, pendant des d\u00e9cennies, les math\u00e9maticiens ont estim\u00e9 que la limite sup\u00e9rieure serait d’environ n^(1+o(1)), ce qui est \u00e0 peine sup\u00e9rieur \u00e0 n. Cependant, nous avons maintenant su que cette hypoth\u00e8se \u00e9tait erron\u00e9e, et ce n’est pas un math\u00e9maticien hors pair qui a r\u00e9fut\u00e9 cette conjecture, mais un mod\u00e8le d’inf\u00e9rence g\u00e9n\u00e9rale<\/a> d’OpenAI.<\/p>\n

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Ce mod\u00e8le a fourni une infinit\u00e9 d’exemples permettant d’obtenir une am\u00e9lioration polynomiale. En effet, il a prouv\u00e9 qu’il est possible de construire des configurations de points avec au moins n^(1+\u03b4) paires \u00e0 distance unitaire, o\u00f9 \u03b4 est un nombre fixe sup\u00e9rieur \u00e0 0 qui ne dispara\u00eet pas \u00e0 mesure que n augmente. Lors de la pr\u00e9sentation de ce r\u00e9sultat, les chercheurs d’OpenAI ont demand\u00e9 \u00e0 un groupe de math\u00e9maticiens de Princeton de l’examiner, et leur conclusion \u00e9tait sans appel.<\/p>\n

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L’IA avait raison. C’est la premi\u00e8re avanc\u00e9e significative dans la limite inf\u00e9rieure du probl\u00e8me d’Erd\u0151s depuis 80 ans. Fait notable, le mod\u00e8le d’OpenAI a employ\u00e9 des outils avanc\u00e9s en th\u00e9orie alg\u00e9brique des nombres<\/strong> pour un probl\u00e8me g\u00e9om\u00e9trique apparemment \u00e9l\u00e9mentaire. Plusieurs math\u00e9maticiens de renom, tels que le laur\u00e9at de la M\u00e9daille Fields Tim Gowers ou l’expert en th\u00e9orie des nombres Arul Shankar, ont d\u00e9clar\u00e9<\/a> que ce r\u00e9sultat constitue une r\u00e9alisation exceptionnelle qui pourrait ouvrir de nouvelles perspectives pour les math\u00e9maticiens dans l’avenir.<\/p>\n

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Image | Jeswin Thomas<\/a><\/p>\n

Pour plus d’informations | OpenAI<\/a><\/p>\n

En Xataka | Ces deux probl\u00e8mes ont troubl\u00e9 les math\u00e9maticiens pendant des d\u00e9cennies. Un g\u00e9nie les a r\u00e9solus d’un coup.<\/p>\n<\/div>\n


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