Morse a reçu cinq nominations aux Emmy Awards pour son rôle de Bertram Cooper dans la série dramatique publicitaire américaine des années 1950. Il a remporté la statue plus tôt dans sa carrière pour son rôle dans « Tru » en 1993. Il a également reçu un Tony Award pour ce même rôle.
Bien que Morse était connu du grand public pour ses rôles à la télévision, il était avant tout un acteur de théâtre. « J’adore aller au théâtre tôt et ensuite monter sur scène avec cette lumière allumée », a-t-il déclaré au New York Times en 1989. Morse laisse derrière lui une femme et quatre enfants.