Quelle est la probabilité d’une inondation, d’un tremblement de terre, d’un krach boursier ou d’un autre événement extrême d’une gravité exceptionnelle ? Cette question difficile à répondre est le domaine de compétence de John Einmahl, professeur de statistiques à Tilburg et spécialiste de la théorie des valeurs extrêmes. Le 8 septembre, il a tenu son discours d’adieu: Un beau théorème n’a pas besoin d’applicationsur les statistiques de l’exceptionnel, des records d’athlétisme aux tremblements de terre.
Comment peut-on affirmer avec certitude des choses qui sont par définition très rares ?
« C’est difficile, mais c’est possible : il s’agit en fait d’une forme d’extrapolation, basée sur des événements exceptionnels, mais pas extrêmement exceptionnels. Par exemple, considérons les niveaux d’eau, qui vous intéressent si vous souhaitez construire une digue : quelle doit être la hauteur de cette digue pour survivre à un niveau d’eau qui se produit une fois tous les dix mille ans ?
« Ensuite, vous commencez avec les niveaux d’eau les plus élevés depuis cent ans. C’est exceptionnel, mais vous disposez de pas mal de données. Et vous essayez d’étendre cela aux niveaux d’eau les plus extrêmes, c’est-à-dire aux catastrophes qui surviennent une fois tous les dix mille ans.
« Ce qui est formidable avec les statistiques, c’est qu’on peut appliquer les mêmes méthodes à toutes sortes de situations : à d’autres catastrophes, comme les tremblements de terre ou les inondations, mais aussi aux fluctuations financières, ou aux records sportifs, par exemple.
« Dans les statistiques, on veut toujours réduire la variabilité. En clair : vous voulez autant de certitude que possible et le moins d’incertitude possible.
« Vous pouvez le faire, par exemple, en collectant autant de données que possible. Quand je lance une pièce de monnaie une fois, je ne sais pas si j’obtiens pile ou face. Mais si je le fais un million de fois, je suis presque sûr que je frapperai de plein fouet environ la moitié des lancers. C’est la loi des grands nombres.
« Mais il n’est pas toujours possible de collecter beaucoup de données, notamment pour des événements rares. L’autre tactique consiste donc à utiliser les données dont vous disposez aussi intelligemment que possible. C’est mon métier. »
Il y a des limites physiques à la force musculaire, à la longueur des foulées, etc. : personne ne courra jamais à 75 kilomètres par heure
«Le diable est dans la queue», ai-je lu dans un journal consacré à ce domaine.
« Les valeurs extrêmes concernent la « queue » d’une distribution de probabilité. Écoutez, si c’est une distribution de probabilité [hij loopt naar een whiteboard en tekent een grafiek van een berg die naar rechts glooiend afloopt]. C’est ce qui arrive très souvent [wijst op de top]ce sont les événements qui surviennent un peu moins fréquemment [wijst op de helling]mais nous sommes préoccupés par ces valeurs [wijst op de voet van de berg]. Ce sont des événements extrêmes et rares : crues des eaux, tremblements de terre majeurs, pertes boursières catastrophiques. Nous appelons cela la « queue ».
« Il y a des queues épaisses et fines. Un exemple de queue fine est le sprint de 100 mètres, que nous avons pris en compte. En 2009, Usain Bolt a établi le record du monde du 100 mètres en 9,58 secondes. Quelqu’un battra probablement ce record un jour, mais il y a des limites physiques en termes de force musculaire, de longueur de foulée, etc. : personne ne courra jamais à 75 kilomètres par heure.
« Dans les processus où il existe une telle frontière intrinsèque, une sorte de mur, on obtient une queue « fine » : la pente diminue relativement rapidement. Cela se voit également, par exemple, dans l’âge maximum des personnes, sur lequel nous avons mené une enquête en 2019. Les gens ne vivent pas beaucoup plus longtemps que 115 ans.
« Une telle queue se traduit par ce que nous appelons le indice des valeurs extrêmes appeler. C’est un chiffre que vous pouvez estimer. Pas simplement en regardant les records du monde, ce que les gens font souvent naïvement. Vous ne disposez alors que d’une poignée de points de données.
« Nous avons répertorié plus d’un millier de records personnels sur 100 mètres réalisés par des athlètes de haut niveau. De là est né un indice des valeurs extrêmes ce qui est négatif. Cela signifie que vous avez une queue fine, et donc une limite physique. Nous estimons cette limite à environ 9,36. Bien sûr, ce chiffre contient également de l’incertitude, mais dans un avenir proche, personne ne sprintera beaucoup plus vite. »
Et une grosse queue ?
« Si vous regardez les tremblements de terre, par exemple, les géophysiciens disent : nous savons en réalité très peu de choses sur leur fonctionnement. Il ne semble y avoir aucune limite inhérente à l’énergie des tremblements de terre. Nous parlons alors d’une grosse queue, que l’on voit également, par exemple, dans le cas d’une assurance incendie ou tempête.
« Supposons donc que vous ayez 100 milliards de dégâts dus à une tempête extrême ou à un tremblement de terre, alors le prochain pourrait tout aussi bien causer 200 milliards de dégâts. La fréquence des événements plus extrêmes diminue très lentement.»
Qu’est-ce que nous, ou les assureurs par exemple, bénéficions de tels calculs ?
« C’est très utile pour les assureurs et important pour l’analyse des risques et le calcul des primes. Même si nous pouvions parfaitement déterminer la distribution de probabilité, il reste une incertitude : nous ne pouvons pas modifier la variation naturelle, seulement la quantifier.
Au début, on a l’impression d’être quelqu’un dans le désert. Partout où tu regardes autour de toi, il n’y a que du sable
Vos publications sur les records sportifs et l’âge maximum des personnes ont reçu beaucoup d’attention, mais vous êtes particulièrement fier de vos publications mathématiques et statistiques.
«Ce sont mes articles sur les méthodes permettant d’arriver à des estimations et de déterminer les propriétés de ces méthodes. Il est très difficile d’expliquer ce que vous faites là-bas. Cela revient à faire certaines hypothèses, puis à essayer de prouver mathématiquement quelque chose en se basant sur elles.
« Au début, on a l’impression d’être quelqu’un debout dans le désert. Partout où vous regardez autour de vous, il n’y a que du sable. Aucune idée d’où aller. Mais ensuite, lentement, quelque chose commence à poindre, et alors vous voyez la lumière au bout du tunnel – c’est une autre métaphore.
« Cela peut s’avérer être un mirage, mais vous comprenez qu’il faut faire des hypothèses différentes, alors vous recommencez et un paysage émerge encore.
« J’aime vraiment ce jeu entre les hypothèses et ce que l’on peut prouver sur cette base. Parfois, on se heurte à un mur. Et parfois, quelque chose vous arrive soudainement lorsque vous rentrez chez vous à vélo ou lorsque vous êtes au lit la nuit.»
Question bête, mais que pensez-vous du fait que ce nom de famille vous ait fait entrer dans la théorie des événements rares ?
« Ha, j’ai entendu des blagues sur mon nom toute ma vie. D’ailleurs, ce n’est pas allemand : « einmal » est sans « h ». C’est un nom de famille limbourgeois qui a probablement à voir avec la ville d’Emael en Belgique, près de Maastricht.
« Croyez-le ou non, je n’ai jamais réalisé le lien avec mon domaine. Jusqu’à ce que quelqu’un fasse une fois une carte de visite : « Professeur Einmahl, statisticien d’exception ». C’est seulement à ce moment-là que ça m’a frappé.