Morse recibió cinco nominaciones al Emmy por su papel de Bertram Cooper en la serie dramática publicitaria estadounidense en la década de 1950. Ganó la estatuilla al principio de su carrera por su papel en ‘Tru’ en 1993. También recibió un premio Tony por ese mismo papel.
Aunque Morse era conocido por el público en general por sus papeles en la televisión, era principalmente un actor de teatro. «Me encanta ir temprano al teatro y luego subir al escenario con esa luz encendida», dijo a The New York Times en 1989. Morse deja esposa y cuatro hijos.