Dos personas diciendo la verdad (tal vez)

Tal vez fui yo, tal vez fue el clima, pero no podía dejar de buscar un buen acertijo. Afortunadamente, a la matemática Tanya Khovanova se le ocurrió uno y lo describió en su Blog.

El acertijo tiene lugar en una isla llena de veraces y mentirosos. Los que dicen la verdad (como su nombre lo dice) siempre dicen la verdad, mientras que los mentirosos siempre mienten. Además, los mentirosos están decididos a no ser expuestos como mentirosos y quieren confundir a la gente tanto como sea posible con sus respuestas. Al hacerlo, los mentirosos, a diferencia de algunos participantes Expedición Robinson, muy cooperativo. Trabajan juntos para evitar ser descubiertos. En la isla, todos los residentes saben entre sí quién dice la verdad y quién es un mentiroso.

Un día llega a la isla un viajero que quiere averiguar quiénes son los mentirosos. Cada vez que habla con un grupo de personas en la isla, les pregunta a cada uno de ellos: “¿Cuántos dicen la verdad hay en este grupo?” Los mentirosos quieren impedir que este viajero descubra la respuesta correcta a su pregunta, y tampoco quieren que pueda averiguar si alguien es un mentiroso o un veraz. ¿Cuál es la mejor estrategia para los mentirosos?

Primero, todo mentiroso siempre debe dar una respuesta que podría ser correcta. Si responde “infinito”, “menos cinco” o “plátanos”, el viajero sabe inmediatamente que es un mentiroso. La respuesta ‘cero’ también es estúpida, porque quien dice la verdad, por supuesto, siempre terminaría con al menos uno.

Khovanova calcula lo que puede pasar si el viajero se encuentra con un grupo de tres isleños. Supongamos que todos dicen que hay dos que dicen la verdad entre ellos, entonces el viajero puede pensar que deben ser tres mentirosos. Porque si hubiera dos que dicen la verdad, cada uno respondería dos claramente, pero el mentiroso tendría que nombrar un número diferente. También con las respuestas 1,1,1, 1,1,2, 1,1,3 y 2,3,3 el viajero sabe que está con tres mentirosos.

Con las respuestas 1,2,3 o 1,3,3, el viajero puede deducir que los que contestan dos o tres son mentirosos en cualquier caso. En 2,2,3 está claro que quien dice 3 debe mentir en cualquier caso.

Pero si el viajero obtiene la respuesta tres veces tres, puede significar una de dos cosas: o son tres veraces o son tres mentirosos. Y en 1,2,2 puede estar tratando con un veraz y dos mentirosos, o con dos veraces y un mentiroso. En resumen: con estos patrones de respuesta, el viajero no puede descifrar nada y eso es lo que quieren los mentirosos.

En general, la estrategia para los mentirosos es nombrar todos el número de mentirosos en el grupo. Esto funciona para cualquier tamaño de grupo. Los mentirosos solo tienen problema si están en un grupo con exactamente el mismo número de veraces que de mentirosos, porque entonces dan la respuesta correcta con esta estrategia. Y por supuesto que no quieren eso. Khovanova deja como pregunta adicional qué deberían hacer los mentirosos en este caso.

Puede pensar que este es otro acertijo matemático recortado de la realidad. Pero uno de los lectores de Khovanova comentó bajo este acertijo: “Mantengamos la política fuera de este blog…”.